Täydellinen todistus löytyy artikkelista Vastavuoroisuus (sähkömagnetismi). Tässä esitämme yleisen yksinkertaisen todistuksen, joka rajoittuu approksimaatioon kahdesta antennista, jotka on erotettu toisistaan antennin kokoon nähden suurella etäisyydellä homogeenisessa väliaineessa. Ensimmäinen antenni on testiantenni, jonka kuvioita halutaan tutkia; tämä antenni voi osoittaa vapaasti mihin suuntaan tahansa. Toinen antenni on vertailuantenni, joka osoittaa jäykästi kohti ensimmäistä antennia.
Kumpikin antenni on vuorotellen kytketty lähettimeen, jolla on tietty lähdeimpedanssi, ja vastaanottimeen, jolla on sama tuloimpedanssi (impedanssi voi olla erilainen molempien antennien välillä).
Edellytetään, että antennit ovat riittävän kaukana toisistaan, jotta vastaanottoantennin sille asettama kuorma ei vaikuta lähetysantennin ominaisuuksiin. Näin ollen lähettimestä vastaanottimeen siirtyvän tehon määrä voidaan ilmaista kahden riippumattoman tekijän tulona; toinen riippuu lähetysantennin suuntausominaisuuksista ja toinen vastaanottoantennin suuntausominaisuuksista.
Lähetysantennin osalta vahvistuksen määritelmän mukaan G {\displaystyle G}
, säteilytehotiheys etäisyydellä r {\displaystyle r}
antennista (eli pinta-alayksikön läpi kulkeva teho) on W ( θ , Φ ) = G ( θ , Φ ) 4 π r 2 P t {\displaystyle \mathrm {W} (\theta ,\Phi )={\frac {\mathrm {G} (\theta ,\Phi )}{4\pi r^{2}}}P_{t}}}
.
Tässä kulmat θ {\displaystyle \theta }
ja Φ {\displaystyle \Phi }
osoittavat riippuvuutta antennin suunnasta, ja P t {\displaystyle P_{t}}
tarkoittaa tehoa, jonka lähetin antaisi sovitettuun kuormaan. Vahvistus G {\displaystyle G}
voidaan jakaa kolmeen tekijään; antennin vahvistus (tehon suuntainen uudelleenjako), säteilyhyötysuhde (antennin ohmiset häviöt huomioon ottaen) ja lopuksi antennin ja lähettimen välisestä epäsovituksesta johtuva häviö. Tarkkaan ottaen, jotta epäsovitus otettaisiin huomioon, sitä pitäisi kutsua toteutuneeksi vahvistukseksi, mutta tämä ei ole yleinen käyttötapa.
Vastaanottoantennin osalta vastaanottimeen tuleva teho on
P r = A ( θ , Φ ) W {\displaystyle P_{r}=\mathrm {A} (\theta ,\Phi )W\,}
.
Tässä W {\displaystyle W}
on osuvan säteilyn tehotiheys ja A {\displaystyle A}
on antennin aukko tai antennin tehollinen pinta-ala (pinta-ala, joka antennin täytyisi vallata, jotta se voisi siepata havaitun siepatun tehon). Suunta-argumentit ovat nyt suhteessa vastaanottavaan antenniin, ja jälleen A {\displaystyle A}
otetaan mukaan ohmiset ja epäsovitushäviöt.
Kokoamalla nämä lausekkeet yhteen saadaan lähettimestä vastaanottimeen siirtyvä teho
P r = A G 4 π r 2 P t {\displaystyle P_{r}=A{\frac {G}{4\pi r^{2}}}P_{t}}}
,
missä G {\displaystyle G}
ja A {\displaystyle A}
ovat vastaavasti lähetys- ja vastaanottoantennien suuntariippuvaisia ominaisuuksia. Kun lähetys tapahtuu vertailuantennista (2) testiantenniin (1), eli P 1 r = A 1 ( θ , Φ ) G 2 4 π r 2 P 2 t {\displaystyle P_{1r}=\mathrm {A_{1}}} (\theta ,\Phi ){\frac {G_{2}}{4\pi r^{2}}}}P_{2t}}
,
ja vastakkaiseen suuntaan tapahtuvan lähetyksen osalta
P 2 r = A 2 G 1 ( θ , Φ ) 4 π r 2 P 1 t {\displaystyle P_{2r}=A_{2}{\frac {\mathrm {G_{1}}} (\theta ,\Phi )}{4\pi r^{2}}}P_{1t}}}
.
Tässä vahvistus G 2 {\displaystyle G_{2}}
ja tehollinen pinta-ala A 2 {\displaystyle A_{2}}
antennin 2 ovat kiinteitä, koska tämän antennin suuntaus on kiinteä ensimmäisen antennin suhteen.
Nyt tietyllä antennien sijoittelulla vastavuoroisuusteoria edellyttää, että tehonsiirto on yhtä tehokas kumpaankin suuntaan, eli
P 1 r P 2 t = P 2 r P 1 t {\displaystyle {\frac {P_{1r}}{P_{2t}}}={\frac {P_{2r}}{P_{2t}}}}
,
jolloin
A 1 ( θ , Φ ) G 1 ( θ , Φ ) = A 2 G 2 {\displaystyle {\frac {\mathrm {A_{1}}} (\theta ,\Phi )}{\mathrm {G_{1}} (\theta ,\Phi )}}={\frac {A_{2}}{G_{2{2}}}}
.
Mutta tämän yhtälön oikea puoli on kiinteä (koska antennin 2 suunta on kiinteä), joten
A 1 ( θ , Φ ) G 1 ( θ , Φ ) = c o n s t a n t {\displaystyle {\frac {\mathrm {A_{1}}} (\theta ,\Phi )}{\mathrm {G_{1}} (\theta ,\Phi )}}=\mathrm {constant} }
,
eli (vastaanottavan) efektiivisen aukon ja (lähettävän) vahvistuksen suuntariippuvuus ovat samat (QED). Lisäksi suhteellisuusvakio on sama antennin luonteesta riippumatta, joten sen on oltava sama kaikille antenneille. Tietyn antennin (kuten Hertzin dipolin) analyysi osoittaa, että tämä vakio on λ 2 4 π {\displaystyle {\frac {\lambda ^{2}}{4\pi }}}
, missä λ {\displaystyle \lambda }
on vapaan tilan aallonpituus. Näin ollen minkä tahansa antennin vahvistus ja efektiivinen aukko liittyvät toisiinsa seuraavasti: A ( θ , Φ ) = λ 2 G ( θ , Φ ) 4 π {\displaystyle \mathrm {A} (\theta ,\Phi )={\frac {\lambda ^{2}\mathrm {G} (\theta ,\Phi )}{4\pi }}}
.
Jopa vastaanottavassa antennissa on tavallisempaa ilmoittaa vahvistus kuin määrittää tehollinen aukko. Vastaanottimeen tuleva teho kirjoitetaan siksi tavallisemmin
P r = λ 2 G r G t ( 4 π r ) 2 P t {\displaystyle P_{r}={\frac {\lambda ^{2}G_{r}G_{t}}}{(4\pi r)^{2}}}P_{t}}}
(ks. linkin budjetti). Tehollinen aukko on kuitenkin kiinnostava, kun sitä verrataan antennin todelliseen fyysiseen kokoon.
Käytännön seurauksetEdit
- Vastaanottoantennin kuvion määrittämisessä tietokonesimuloinnilla ei ole tarpeen suorittaa laskentaa jokaiselle mahdolliselle tulokulmalle. Sen sijaan antennin säteilykuvio määritetään yhdellä simuloinnilla, ja vastaanottava kuvio päätellään vastavuoroisuuden avulla.
- Kun antennin kuvio määritetään mittaamalla, antenni voi olla joko vastaanottava tai lähettävä, riippuen siitä, kumpi on kätevämpi.
- Käytännöllisen antennin sivukeilan tason tulisi olla minimaalinen, on välttämätöntä saada maksimaalinen suuntaavuus.