Rengas matemaattisessa mielessä on joukko 
yhdessä kahden binäärioperaattorin 
ja 
(yleisesti tulkitaan yhteen- ja kertolaskuksi) kanssa, jotka täyttävät seuraavat ehdot:
1. Additiivinen assosiatiivisuus: Kaikille 
, 
,
2. Additiivinen kommutatiivisuus: Kaikille 
, 
,
3. Additiivinen identiteetti: On olemassa sellainen alkio 
, että kaikille 
, 
,
4. Additiivinen käänteisluku: Jokaiselle 
on olemassa 
siten, että 
,
5. Vasen ja oikea distributiivisuus: Kaikille 
, 
ja 
,
6. Multiplikatiivinen assosiatiivisuus: Kaikille 
, 
(tätä ominaisuutta tyydyttävää rengasta kutsutaan joskus nimenomaan assosiatiiviseksi renkaaksi).
Edellytykset 1-5 vaaditaan aina. Vaikka ei-assosiatiivisia renkaita on olemassa, lähes kaikissa teksteissä edellytetään myös ehtoa 6 (Itô 1986, s. 1369-1372; s. 418; Zwillinger 1995, s. 141-143; Harris ja Stocker 1998; Knuth 1998; Korn ja Korn 2000; Bronshtein ja Semendjajev 2004).
Renkaat voivat myös täyttää erilaisia valinnaisia ehtoja:
7. Multiplikatiivinen kommutatiivisuus: Kaikille 
, 
(rengasta, joka täyttää tämän ominaisuuden, kutsutaan kommutatiiviseksi renkaaksi),
8. Multiplikatiivinen identiteetti: Kaikkien 
, 
(rengasta, joka täyttää tämän ominaisuuden, kutsutaan yksikkörenkaaksi tai joskus ”identtiseksi renkaaksi”),
9. Multiplikatiivinen käänteisluku: Jokaiselle 
:lle 
on olemassa sellainen alkio 
, että kaikille 
, 
, missä 1 on identtinen alkio.
Rengasta, joka täyttää kaikki lisäominaisuudet 6-9, sanotaan kentäksi, kun taas rengasta, joka täyttää vain lisäominaisuudet 6, 8 ja 9, sanotaan jakoalgebraksi (tai vinoksi kentäksi).
Jotkut kirjoittajat poikkeavat tavanomaisesta konventiosta ja vaativat (määritelmässään), että rengas sisältää lisäominaisuuksia. Esimerkiksi Birkhoff ja Mac Lane (1996) määrittelevät renkaan, jolla on oltava multiplikatiivinen identiteetti (eli ominaisuus 8).
Tässä on joukko esimerkkejä renkaista, joista puuttuvat tietyt ehdot:
1. Ilman multiplikatiivista assosiatiivisuutta (joskus kutsutaan myös ei-assosiatiivisiksi algebroiksi): oktonionit, OEIS A037292,
2. Ilman multiplikatiivista kommutatiivisuutta: Reaaliarvoiset 
matriisit, kvaternionit,
3. Ilman multiplikatiivista identiteettiä:
4. Ilman multiplikatiivista käänteislukua: Kokonaisluvut.
Sana rengas on lyhenne saksankielisestä sanasta Zahlring (numerorengas). Ranskankielinen sana rengas on anneau, ja nykysuomen saksankielinen sana on Ring, molemmat tarkoittavat (ei niin yllättäen) ”rengas”. Fraenkel (1914) antoi ensimmäisen abstraktin määritelmän renkaalle, vaikka tällä teoksella ei ollut suurta vaikutusta. Hilbert otti termin käyttöön kuvaamaan renkaita kuten
Kertomalla peräkkäin uuden alkion 
, se lopulta kiertää ja muuttuu joksikin jo generoiduksi, joksikin renkaan kaltaiseksi, eli 
on uusi, mutta 
on kokonaisluku. Kaikilla algebraluvuilla on tämä ominaisuus, esim. 
täyttää 
.
Renkaan on sisällettävä vähintään yksi alkio, mutta sen ei tarvitse sisältää multiplikatiivista identiteettiä tai olla kommutatiivinen. Finiittisten 
-alkioisten renkaiden lukumäärä 
, 2, …, on 1, 2, 2, 2, 11, 2, 2, 4, 2, 52, 11, 4, 2, 22, 2, 4, 4, …. (OEIS A027623 ja A037234; Fletcher 1980). Jos 
ja 
ovat alkulukuja, on kaksi rengasta, joiden koko on 
, neljä rengasta, joiden koko on 
, 11 rengasta, joiden koko on 
(Singmaster 1964, Dresden), 22 rengasta, joiden koko on 
, 52 rengasta, joiden koko on 
, kun kyseessä on 
, ja 53 rengasta, joiden koko on 
, kun kyseessä on 
(Ballieu 1947, Gilmer ja Mott 1973; Dresden).
Rengasta, joka on kommutatiivinen kertomalla, jolla on yksikköelementti ja jolla ei ole nollan jakajia, kutsutaan integraalialueeksi. Rengasta, jonka nollasta poikkeavat alkiot muodostavat kommutatiivisen kertolaskuryhmän, kutsutaan kentäksi. Yksinkertaisimpia renkaita ovat kokonaisluvut 
, polynomit 
ja 
yhdellä ja kahdella muuttujalla sekä neliölliset 
reaalimatriisit.
Renkaat, joita on tutkittu ja jotka on todettu kiinnostaviksi, nimetään yleensä yhden tai useamman niiden tutkijan mukaan. Tämä käytäntö johtaa valitettavasti nimiin, jotka antavat hyvin vähän tietoa niihin liittyvien renkaiden merkityksellisistä ominaisuuksista.
Renteln ja Dundes (2005) esittävät seuraavan (huonon) matemaattisen vitsin renkaista:
Kysymys: Mikä on abeliaaninen ryhmä yhteenlaskun alaisena, suljettu,assosiatiivinen, distributiivinen ja kantaa kirousta? V: Nibelungin rengas.