Leibniz

7.8.1 Kysynnän jousto

Kysynnän hintajousto mittaa kysytyn määrän herkkyyttä hinnalle: se kertoo kysytyn määrän prosentuaalisen muutoksen, kun hinta muuttuu 1 %. Tässä Leibnizissä määrittelemme jouston laskennan avulla ja osoitamme, miten yrityksen hinnoittelupäätökset riippuvat sen kohtaaman kysynnän joustosta.

Kysyntäfunktio voidaan kirjoittaa kahdella tavalla. Aiemmin olemme kuvanneet Kauniiden autojen kysyntää käyttämällä käänteistä kysyntäfunktiota:

jossa on hinta, jolla yritys voi myydä täsmälleen autoja. Jouston määrittelemiseksi on kätevämpää kirjoittaa kysyntäfunktio sen suorassa muodossa:

on Kauniiden autojen kysytty määrä, jos hinta on . (Funktio on käänteisfunktio ; matemaattisesti voidaan kirjoittaa .)

Kysyntäfunktion derivaatta on . Tämä on yksi tapa mitata, kuinka paljon kuluttajien kysyntä muuttuu hinnan muutoksen seurauksena. Se ei kuitenkaan ole kovin käyttökelpoinen mittari, koska se riippuu yksiköistä, joissa ja mitataan. Esimerkiksi saisimme erilaisen vastauksen, jos hinta olisi euroissa eikä dollareissa.

Kysynnän hintajouston määrittelimme sen sijaan tekstissä seuraavasti:

Tämä on hyödyllisempi mittari kysynnän reagoinnista hintaan. Määritelmästä näkee, että se on mittayksiköistä riippumaton. Mutta se liittyy läheisesti johdannaislukuun -näyttääksesi tämän, oletetaan, että hinta muuttuu arvosta arvoon , jolloin kysytty määrä muuttuu arvosta arvoon . Hinnan prosentuaalinen muutos on , ja määrän prosentuaalinen muutos on . Kun nämä korvataan joustoa kuvaavaan lausekkeeseen, saadaan:

Tämän lausekkeen raja-arvo as antaa meille laskennallisen määritelmän kysynnän hintajoustolle, jota tekstissä merkitsemme as:

Ja koska , kimmoisuus voidaan kirjoittaa myös seuraavasti:

Huomaa, että kimmoisuuden arvo on tavallisesti positiivinen, koska kysynnän lain mukaan kysyntäfunktion derivaatta on negatiivinen.

Näin määriteltynä, laskutoimitusta käyttäen, on vain likimain sama kuin alkuperäinen määritelmämme, jossa jousto on kysytyn määrän prosentuaalinen lasku, kun hinta nousee 1 %. Mutta sillä kohtuullisella oletuksella, että 1 % on pieni määrä, se on läheinen approksimaatio, ja tulkitsemme sen usein niin.

Tarkastellaan kysyntäfunktiota:

Tässä,

Tässä nimenomaisessa tapauksessa kysyntäjousto on vakio – se on yhtä suuri kuin kysyntäkäyrän kaikissa pisteissä.

Yleisesti joustot eivät ole vakioita. Ne vaihtelevat siirryttäessä pitkin kysyntäkäyrää. Mutta yllä oleva esimerkki havainnollistaa erikoistapausta. Jos kysyntäfunktion muoto on , jossa ja ovat positiivisia vakioita, kysyntäjousto on . Tämä on ainoa kysyntäfunktioiden luokka, jossa jousto on vakio.

Kysyntäjouston ilmaiseminen määränä

Muuten kysyntäjouston lauseke saadaan palaamalla käänteiseen kysyntäfunktioon . Käänteisfunktion säännön mukaan

siten

Toinen esimerkki: Oletetaan, että Kauniita autoja kohtaa käänteinen kysyntäfunktio

kuten tekstin kuvassa 7.15. Yllä olevan lausekkeen avulla kysynnän jousto on:

Vaihtoehtoisesti voimme ilmaista jouston hinnan suhteen: , joten

Jokainen näistä kahdesta lausekkeesta osoittaa, että se laskee siirryttäessä kysyntäkäyrää pitkin oikealle, kasvaa ja pienenee . Näin on jokaisen lineaarisen kysyntäfunktion kohdalla, sillä tulos on, että lähestyy kun lähestyy ja lähestyy kun lähestyy maksimiarvoaan, jossa . Näin ollen jos Kauniit autot myy vain kaksi autoa päivässä 7 840 dollarin hinnalla, kysyntäjousto on 49; kun taas jos yritys myy 95 autoa päivässä veloittamalla vain 400 dollaria per auto, kolmen desimaalin tarkkuudella.

Kysyntäjousto ja rajatulot

Olemme nähneet Leibnizin 7.6. kohdassa.1, että jos Kauniiden autojen käänteinen kysyntäfunktio on , sen tulofunktio on

ja että rajatulo (MR) määritellään seuraavasti:

Kirjoittaessamme tämän lausekkeen uudelleen kaavan avulla ja käyttämällä sitä, että , huomaamme, että rajatulon ja kysynnän jouston välillä on yhteys:

Tämä merkitsee, että rajatulo on positiivinen, jos , negatiivinen, jos .

Kuten tekstissä todettiin, kysynnän sanotaan olevan elastinen, jos , joustamaton, jos . Toinen esimerkki osoittaa, että kysyntä voi olla joustavaa ja joustamatonta saman kysyntäkäyrän eri kohdissa. Olemme juuri osoittaneet, että rajatulo on positiivinen, jos ja vain jos yritys toimii kysyntäkäyrän siinä osassa, jossa kysyntä on joustavaa. Erityisesti näin on, jos yritys maksimoi voittonsa ja siksi valitsee tuotantonsa siten, että se vastaa rajatuloa ja rajakustannusta, koska rajakustannus on positiivinen.

Marginaali

Muistetaan Leibniz 7.6.1:stä, että voiton maksimoinnin ensimmäisen kertaluvun ehto on , missä on rajakustannus. Käyttämällä äsken johdettua rajatulon kaavaa voimme kirjoittaa ensimmäisen kertaluvun ehdon seuraavasti:

Rearranging,

Tämän yhtälön vasen puoli on yrityksen voittomarginaali – eli voittomarginaali suhteessa hintaan. Yhtälö kertoo, että voittomarginaali (voiton maksimointipisteessä) on sitä suurempi, mitä pienempi on kysynnän jousto. Esimerkiksi jos kysynnän jousto on optimaalinen, voittomarginaali on , kun taas jos kysynnän jousto on , voittomarginaali on , joten yritys asettaa hintansa viisinkertaiseksi rajakustannuksiin nähden. Marginaalin ja kysynnän hintajouston käänteistä suhdetta havainnollistavat tekstin kuviot 7.16 ja 7.17, jotka on toistettu alla kuviona 1.