Sarjan 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ osasummat ovat 1, 3, 7, 15, …; koska nämä eroavat äärettömään, eroaa myös sarja.
2 0 + 2 1 + ⋯ + 2 k = 2 k + 1 – 1 {\displaystyle 2^{0}+2^{1}+\cdots +2^{k}=2^{k+1}-1}
Siten mikä tahansa täysin säännönmukainen summausmenetelmä antaa äärettömän summan, mukaan lukien Cesàron summa ja Abelin summa. Toisaalta on olemassa ainakin yksi yleisesti käyttökelpoinen menetelmä, joka summaa 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ äärelliseen arvoon -1. Tähän liittyvä potenssisarja
f ( x ) = 1 + 2 x + 4 x 2 + 8 x 3 + ⋯ + 2 n x n + ⋯ = 1 1 – 2 x {\displaystyle f(x)=1+2x+4x^{2}+8x^{3}+\cdots +2^{n}{}x^{n}+\cdots ={\frac {1}{1-2x}}}}
on konvergenssisäde 0:n ympärillä vain 1/2, joten se ei konvergoi kohdassa x = 1. Siitä huolimatta näin määritellyllä funktiolla f on yksikäsitteinen analyyttinen jatkumo kompleksitasoon, josta on poistettu piste x = 1/2, ja se saadaan samalla säännöllä f(x) = 1/1 – 2x. Koska f(1) = -1, alkuperäisen sarjan 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ sanotaan olevan summautuva (E) -1:een, ja -1 on sarjan (E)summa. (Merkintätapa on peräisin G. H. Hardylta viitaten Leonhard Eulerin lähestymistapaan divergentteihin sarjoihin).
Vähän identtinen lähestymistapa (jota Euler itse käytti) on tarkastella potenssisarjoja, joiden kaikki kertoimet ovat 1, i.e.
1 + y + y 2 + y 3 + ⋯ = 1 1 – y {\displaystyle 1+y+y^{2}+y^{3}+\cdots ={\frac {1}{1-y}}}}
ja kytkemällä y = 2. Nämä kaksi sarjaa liittyvät toisiinsa korvauksella y = 2x.
Se, että (E) summaus antaa äärellisen arvon 1 + 2 + 4 + 8 + … osoittaa, että yleinen menetelmä ei ole täysin säännöllinen. Toisaalta sillä on joitakin muita summausmenetelmälle toivottavia ominaisuuksia, kuten stabiilisuus ja lineaarisuus. Nämä kaksi jälkimmäistä aksioomaa itse asiassa pakottavat summan olemaan -1, koska ne tekevät seuraavasta manipulaatiosta pätevän:
s = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ⋯ = 1 + 2 ( 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ ) = 1 + 2 s {\displaystyle {\begin{array}{rcl}s&=&\displaystyle 1+2+4+8+16+\cdots \\\&=&\displaystyle 1+2(1+2+4+8+\cdots )\\\&=&\displaystyle 1+2s\end{array}}}
Hyödyllisessä mielessä s = ∞ on yhtälön s = 1 + 2s juuri. (Esimerkiksi ∞ on yksi Möbius-muunnoksen z → 1 + 2z kahdesta kiintopisteestä Riemannin pallolla). Jos tiedetään, että jokin summausmenetelmä palauttaa s:lle tavallisen luvun, ei siis ∞, niin se on helppo määrittää. Tällöin s voidaan vähentää yhtälön molemmilta puolilta, jolloin saadaan 0 = 1 + s, joten s = -1.
Yllä olevaa manipulaatiota voitaisiin käyttää tuottamaan -1 riittävän tehokkaan summausmenettelyn ulkopuolella. Tunnetuimmissa ja suoraviivaisimmissa summakäsitteissä, mukaan lukien perustavanlaatuinen konvergentti, on absurdia, että positiivisista termeistä koostuvalla sarjalla voisi olla negatiivinen arvo. Samanlainen ilmiö esiintyy divergentissä geometrisessa sarjassa 1 – 1 + 1 – 1 + ⋯, jossa kokonaislukujen sarjalla näyttää olevan ei-kokonaislukuinen summa 1/2. Nämä esimerkit havainnollistavat mahdollisen vaaran, joka liittyy vastaavien argumenttien soveltamiseen sarjoihin, jotka muodostuvat toistuvista desimaaliluvuista, kuten 0,111… ja erityisesti 0,999….. Argumentit ovat lopulta perusteltuja näille konvergenssisarjoille, jotka implikoivat, että 0.111… = 1/9 ja 0.999… = 1, mutta niiden taustalla olevat todisteet vaativat huolellista pohdintaa loputtomien summien tulkinnasta.
On myös mahdollista pitää näitä sarjoja konvergentteina reaaliluvuista poikkeavassa lukujärjestelmässä, nimittäin 2-adikaalisissa luvuissa. 2-adisten lukujen sarjana tämä sarja konvergoi samaan summaan, -1, kuin edellä johdettiin analyyttisen jatkamisen avulla.