BIBLIOGRAPHIE
Bei einem Optimierungsproblem gibt es eine (reellwertige) Funktion, die maximiert oder minimiert werden soll. Diese Funktion wird häufig als Zielfunktion bezeichnet, ein Begriff, der im Bereich der Planung und Programmierung, insbesondere der linearen Programmierung, durch die Arbeit des Mathematikers George Dantzig (1914-2005) entstanden zu sein scheint. Vor 1947, als Dantzig das Problem der linearen Programmierung und die Simplex-Methode zu seiner Lösung erfand, beinhalteten militärische Logistikpläne, die als „Programme“ bezeichnet wurden, groß angelegte Entscheidungen auf der Grundlage von Grundregeln. Dantzig schuf mathematische Modelle, um die zu erfüllenden Bedingungen und ein Kriterium für die Wahl einer machbaren Lösung gegenüber einer anderen zu erfassen. Damit leistete er einen bedeutenden Beitrag zu einem wichtigen Tätigkeitsbereich. Dantzig läutete eine neue Ära der Entscheidungsfindung ein und brachte den Begriff der Zielfunktion als numerischen mathematischen Ausdruck für das Ziel, das durch das Programm erreicht werden sollte, hervor.
Eine Zielfunktion misst also die „Güte“ eines machbaren Vektors, d.h. eines Vektors, dessen Koordinaten alle auferlegten Nebenbedingungen erfüllen, falls es welche gibt. Zur Veranschaulichung: In einem linearen Programmierungsproblem
ist die Zielfunktion die lineare Form p 1x 1 + p 2x 2 + … + pnxn, die zum Beispiel den Gesamterlös messen könnte, der sich aus den Verkäufen in den Mengen x1, x2, …, xn zu den Einheitspreisen p 1, p 2, … pn ergibt. Die Ungleichungen in dieser Abbildung stellen Nebenbedingungen (oder Beschränkungen) für die Variablen x 1, x 2, …, xn dar.
Das bedeutet nicht, dass alle Zielfunktionen (oder alle Beschränkungen) von dieser Art sind. Sie können linear oder nichtlinear sein, je nachdem, wie die Güte im angewandten Kontext definiert ist. Die Funktion, die bei einer Parameterschätzung nach dem Kriterium der kleinsten Quadrate minimiert wird, ist ein Beispiel für eine nichtlineare (eigentlich quadratische) Zielfunktion. Bei Problemen dieser Art können die fraglichen „Variablen“ „frei“ (nicht eingeschränkt) oder eingeschränkt sein. Im nichtlinearen Fall wird die Konvexität (oder ihr Fehlen) zu einem wichtigen optimierungstheoretischen Problem.
Das zugrundeliegende Konzept einer Zielfunktion – unter einem anderen oder gar keinem Namen – gab es schon seit Jahrhunderten, bevor Dantzig diese spezielle Terminologie einführte. Man denke nur an die Methode der Multiplikatoren, die von Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) für gleichheitsbeschränkte Optimierungsprobleme entwickelt wurde. Viele synonyme Begriffe sind in Gebrauch. Zu den abstrakteren Begriffen gehören Maximand für Maximierungsprobleme und Minimand für Minimierungsprobleme. Diese Begriffe können in den jeweiligen Optimierungsproblemen unabhängig von der jeweiligen Anwendung verwendet werden. In angewandten Bereichen wie der Ökonometrie findet man den Begriff Kriteriumsfunktion. Weitere Begriffe mit einem offensichtlichen Bezug zu den Wirtschaftswissenschaften sind soziale Wohlfahrtsfunktion, ökonomische Wohlfahrtsfunktion, Verlustfunktion und Gewinnfunktion. Weitere Beispiele aus anderen Bereichen sind Distanzfunktion und Flusswert; der Punkt ist, dass der Begriff, der anstelle der Zielfunktion verwendet wird, sich auf das beziehen kann, was er misst.
Siehe auch Koopmans, Tjalling; Maximierung; Präferenzen; Präferenzen, interdependent; Principal-Agent-Modelle; Programmierung, linear und nichtlinear; Rationalität; Repräsentativer Agent; Soziale Wohlfahrtsfunktionen; Nutzenfunktion
BIBLIOGRAPHIE
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