Für einen vollständigen Beweis siehe den Artikel Reziprozität (Elektromagnetismus). Hier stellen wir einen allgemeinen einfachen Beweis vor, der sich auf die Annäherung von zwei Antennen in einem homogenen Medium beschränkt, die durch einen großen Abstand im Vergleich zur Größe der Antenne getrennt sind. Die erste Antenne ist die Testantenne, deren Muster untersucht werden soll; diese Antenne kann in jede beliebige Richtung zeigen. Die zweite Antenne ist eine Referenzantenne, die starr auf die erste Antenne gerichtet ist.
Jede Antenne wird abwechselnd an einen Sender mit einer bestimmten Quellimpedanz und an einen Empfänger mit derselben Eingangsimpedanz angeschlossen (die Impedanz kann zwischen den beiden Antennen unterschiedlich sein).
Es wird angenommen, dass die beiden Antennen weit genug voneinander entfernt sind, damit die Eigenschaften der Sendeantenne nicht durch die Belastung durch die Empfangsantenne beeinflusst werden. Folglich kann die vom Sender zum Empfänger übertragene Leistung als das Produkt zweier unabhängiger Faktoren ausgedrückt werden, von denen einer von den Richtungseigenschaften der Sendeantenne und der andere von den Richtungseigenschaften der Empfangsantenne abhängt.
Für die Sendeantenne gilt gemäß der Definition des Gewinns G {\displaystyle G}
, die Strahlungsleistungsdichte in einem Abstand r {\displaystyle r}
von der Antenne (d. h. die Leistung, die durch eine Flächeneinheit hindurchgeht) ist W ( θ , Φ ) = G ( θ , Φ ) 4 π r 2 P t {\displaystyle \mathrm {W} (\theta ,\Phi )={\frac {\mathrm {G} (\theta ,\Phi )}{4\pi r^{2}}P_{t}}
.
Hier sind die Winkel θ {\displaystyle \theta }
und Φ {\displaystyle \Phi }
zeigen eine Abhängigkeit von der Richtung der Antenne, und P t {\displaystyle P_{t}}
steht für die Leistung, die der Sender an eine angepasste Last abgeben würde. Die Verstärkung G {\displaystyle G}
lässt sich in drei Faktoren aufteilen: den Antennengewinn (die gerichtete Umverteilung der Leistung), den Strahlungswirkungsgrad (unter Berücksichtigung der ohmschen Verluste in der Antenne) und schließlich den Verlust aufgrund der Fehlanpassung zwischen Antenne und Sender. Um die Fehlanpassung mit einzubeziehen, müsste man sie eigentlich als realisierten Gewinn bezeichnen, aber das ist nicht üblich.
Für die Empfangsantenne ist die an den Empfänger abgegebene Leistung
P r = A ( θ , Φ ) W {\displaystyle P_{r}=\mathrm {A} (\theta ,\Phi )W\,}
.
Hier W {\displaystyle W}
die Leistungsdichte der einfallenden Strahlung, und A {\displaystyle A}
ist die Antennenapertur oder effektive Fläche der Antenne (die Fläche, die die Antenne einnehmen müsste, um die beobachtete eingefangene Leistung abzufangen). Die Richtungsargumente beziehen sich nun auf die Empfangsantenne, und wieder ist A {\displaystyle A}
wird genommen, um ohmsche Verluste und Fehlanpassungen einzubeziehen.
Nimmt man diese Ausdrücke zusammen, so ist die vom Sender zum Empfänger übertragene Leistung
P r = A G 4 π r 2 P t {\displaystyle P_{r}=A{\frac {G}{4\pi r^{2}}}P_{t}}
,
wobei G {\displaystyle G}
und A {\displaystyle A}
richtungsabhängige Eigenschaften der Sende- bzw. Empfangsantenne sind. Für die Übertragung von der Referenzantenne (2) zur Testantenne (1), also P 1 r = A 1 ( θ , Φ ) G 2 4 π r 2 P 2 t {\displaystyle P_{1r}=\mathrm {A_{1}} (\theta ,\Phi ){\frac {G_{2}}{4\pi r^{2}}}P_{2t}}
,
und für die Übertragung in der Gegenrichtung
P 2 r = A 2 G 1 ( θ , Φ ) 4 π r 2 P 1 t {\displaystyle P_{2r}=A_{2}{\frac {\mathrm {G_{1}} (\theta ,\Phi )}{4\pi r^{2}}P_{1t}}
.
Hier ist der Gewinn G 2 {\displaystyle G_{2}}
und die effektive Fläche A 2 {\displaystyle A_{2}}
der Antenne 2 sind fest, weil die Ausrichtung dieser Antenne in Bezug auf die erste fest ist.
Der Reziprozitätssatz verlangt nun für eine gegebene Anordnung der Antennen, dass die Leistungsübertragung in jeder Richtung gleich wirksam ist, d.h.
P 1 r P 2 t = P 2 r P 1 t {\displaystyle {\frac {P_{1r}}{P_{2t}}}={\frac {P_{2r}}{P_{1t}}}}
,
wenn also
A 1 ( θ , Φ ) G 1 ( θ , Φ ) = A 2 G 2 {\displaystyle {\frac {\mathrm {A_{1}} (\theta ,\Phi )}{\mathrm {G_{1}} (\theta ,\Phi )}}={\frac {A_{2}}{G_{2}}}}
.
Aber die rechte Seite dieser Gleichung ist fest (weil die Ausrichtung der Antenne 2 fest ist), und so
A 1 ( θ , Φ ) G 1 ( θ , Φ ) = c o n s t a n t {\displaystyle {\frac {\mathrm {A_{1}} (\theta ,\Phi )}{\mathrm {G_{1}} (\theta ,\Phi )}}=\mathrm {Konstante} }
,
d.h. die Richtungsabhängigkeit der (empfangenden) effektiven Apertur und der (sendenden) Verstärkung sind identisch (QED). Außerdem ist die Proportionalitätskonstante unabhängig von der Art der Antenne gleich und muss daher für alle Antennen gleich sein. Die Analyse einer bestimmten Antenne (z. B. eines Hertzschen Dipols) zeigt, dass diese Konstante λ 2 4 π {\displaystyle {\frac {\lambda ^{2}}{4\pi }}
, wobei λ {\displaystyle \lambda }
die Wellenlänge im freien Raum ist. Daher sind für jede Antenne der Gewinn und die effektive Apertur durch A ( θ , Φ ) = λ 2 G ( θ , Φ ) 4 π {\displaystyle \mathrm {A} (\theta ,\Phi )={\frac {\lambda ^{2}\mathrm {G} (\theta ,\Phi )}{4\pi }}
.
Auch bei einer Empfangsantenne ist es üblicher, den Gewinn anzugeben, als die effektive Apertur zu spezifizieren. Die an den Empfänger abgegebene Leistung wird daher üblicherweise geschrieben als
P r = λ 2 G r G t ( 4 π r ) 2 P t {\displaystyle P_{r}={\frac {\lambda ^{2}G_{r}G_{t}}{(4\pi r)^{2}}}P_{t}}
(siehe Link Haushalt). Die effektive Apertur ist jedoch für den Vergleich mit der tatsächlichen physikalischen Größe der Antenne von Interesse.
Praktische KonsequenzenBearbeiten
- Bei der Bestimmung des Strahlungsdiagramms einer Empfangsantenne durch Computersimulation ist es nicht notwendig, eine Berechnung für jeden möglichen Einfallswinkel durchzuführen. Stattdessen wird das Strahlungsdiagramm der Antenne durch eine einzige Simulation bestimmt und das Empfangsdiagramm durch Reziprozität abgeleitet.
- Wenn das Diagramm einer Antenne durch Messung bestimmt wird, kann die Antenne entweder empfangend oder sendend sein, je nachdem, was günstiger ist.
- Für eine praktische Antenne sollte der Nebenkeulenpegel minimal sein, es ist notwendig, die maximale Richtwirkung zu haben.