Ring

Ein Ring im mathematischen Sinne ist eine Menge zusammen mit zwei binären Operatoren und (allgemein als Addition bzw. Multiplikation interpretiert), die folgende Bedingungen erfüllen:

1. Additive Assoziativität: Für alle , ,

2. Additive Kommutativität: Für alle , ,

3. Additive Identität: Es gibt ein Element , so dass für alle , ,

4. Additive Umkehrung: Für jedes gibt es , so dass ,

5. Links- und Rechtsdistributivität: Für alle , und ,

6. Multiplikative Assoziativität: Für alle , (ein Ring, der diese Eigenschaft erfüllt, wird manchmal ausdrücklich als assoziativer Ring bezeichnet).

Die Bedingungen 1-5 sind immer erforderlich. Obwohl es nicht-assoziative Ringe gibt, verlangen praktisch alle Texte auch die Bedingung 6 (Itô 1986, S. 1369-1372; S. 418; Zwillinger 1995, S. 141-143; Harris und Stocker 1998; Knuth 1998; Korn und Korn 2000; Bronshtein und Semendyayev 2004).

Ringe können auch verschiedene optionale Bedingungen erfüllen:

7. Multiplikative Kommutativität: Für alle , (ein Ring, der diese Eigenschaft erfüllt, wird ein kommutativer Ring genannt),

8. Multiplikative Identität: Es gibt ein Element , so dass für alle , (ein Ring, der diese Eigenschaft erfüllt, wird als Einheitsring oder manchmal als „Ring mit Identität“ bezeichnet),

9. Multiplikative Umkehrung: Für jedes in gibt es ein Element , so dass für alle , , wobei 1 das Identitätselement ist.

Ein Ring, der alle zusätzlichen Eigenschaften 6-9 erfüllt, wird ein Feld genannt, während ein Ring, der nur die zusätzlichen Eigenschaften 6, 8 und 9 erfüllt, eine Divisionsalgebra (oder ein schiefes Feld) genannt wird.

Einige Autoren weichen von der normalen Konvention ab und verlangen (gemäß ihrer Definition), dass ein Ring zusätzliche Eigenschaften enthält. Zum Beispiel definieren Birkhoff und Mac Lane (1996) einen Ring so, dass er eine multiplikative Identität hat (d.h. Eigenschaft 8).

Es gibt eine Reihe von Beispielen für Ringe, denen bestimmte Bedingungen fehlen:

1. Ohne multiplikative Assoziativität (manchmal auch nichtassoziative Algebren genannt): Oktonionen, OEIS A037292,

2. Ohne multiplikative Kommutativität: Realwertige Matrizen, Quaternionen,

3. Ohne multiplikative Identität: Gerade Zahlen,

4. Ohne multiplikative Umkehrung: Ganze Zahlen.

Das Wort Ring ist eine Abkürzung für das deutsche Wort „Zahlring“. Das französische Wort für einen Ring ist anneau, und das moderne deutsche Wort ist Ring, beide bedeuten (nicht so überraschend) „Ring“. Fraenkel (1914) gab die erste abstrakte Definition des Rings, obwohl diese Arbeit keinen großen Einfluss hatte. Der Begriff wurde von Hilbert eingeführt, um Ringe wie

zu beschreiben.

Durch sukzessives Multiplizieren des neuen Elements wird es schließlich zu etwas, das bereits erzeugt wurde, so etwas wie ein Ring, das heißt, ist neu, aber ist eine ganze Zahl. Alle algebraischen Zahlen haben diese Eigenschaft, z.B. erfüllt .

Ein Ring muss mindestens ein Element enthalten, muss aber keine multiplikative Identität enthalten oder kommutativ sein. Die Anzahl der endlichen Ringe mit Elementen für , 2, …, sind 1, 2, 2, 11, 2, 4, 2, 52, 11, 4, 2, 22, 2, 4, 4, … (OEIS A027623 und A037234; Fletcher 1980). Wenn und Primzahlen sind, gibt es zwei Ringe der Größe , vier Ringe der Größe , 11 Ringe der Größe (Singmaster 1964, Dresden), 22 Ringe der Größe , 52 Ringe der Größe für , und 53 Ringe der Größe für (Ballieu 1947, Gilmer und Mott 1973; Dresden).

Ein Ring, der unter Multiplikation kommutativ ist, ein Einheitselement hat und keine Teiler von Null hat, heißt ein Integralbereich. Ein Ring, dessen Nicht-Null-Elemente eine kommutative Multiplikationsgruppe bilden, heißt ein Feld. Die einfachsten Ringe sind die ganzen Zahlen , Polynome und in einer und zwei Variablen und quadratische reelle Matrizen.

Ringe, die untersucht und für interessant befunden wurden, werden gewöhnlich nach einem oder mehreren ihrer Forscher benannt. Diese Praxis führt leider zu Namen, die sehr wenig Einblick in die relevanten Eigenschaften der zugehörigen Ringe geben.

Renteln und Dundes (2005) geben den folgenden (schlechten) mathematischen Witz über Ringe:

Q: Was ist eine abelsche Gruppe unter Addition, geschlossen, assoziativ, distributiv, und trägt einen Fluch? A: Der Ring des Nibelungen.