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Eine Diophantische Gleichung ist eine Gleichung, die sich auf ganzzahlige (oder manchmal auch natürliche oder ganzzahlige) Quantitäten bezieht.

Die Suche nach der Lösung oder den Lösungen einer Diophantischen Gleichung ist eng mit der modularen Arithmetik und der Zahlentheorie verbunden. Wenn eine Diophantische Gleichung unendlich viele Lösungen hat, wird oft die parametrische Form verwendet, um die Beziehung zwischen den Variablen der Gleichung auszudrücken.

Diophantische Gleichungen sind nach dem altgriechischen/alemannischen Mathematiker Diophantus benannt.

Linearkombination

Eine Diophantische Gleichung in der Form wird als Linearkombination bezeichnet. Wenn zwei relativ primäre ganze Zahlen und in dieser Form mit geschrieben werden, hat die Gleichung unendlich viele Lösungen. Allgemeiner ausgedrückt, gibt es immer eine unendliche Anzahl von Lösungen, wenn . Wenn , dann gibt es keine Lösungen für die Gleichung. Um zu sehen, warum, betrachte die Gleichung . ist ein Teiler der linken Seite (man beachte auch, dass immer eine ganze Zahl sein muss). wird jedoch nie ein Vielfaches von sein, daher gibt es keine Lösungen.

Betrachten wir nun den Fall, dass . Also . Wenn und relativ prim sind, dann haben alle Lösungen offensichtlich die Form für alle ganzen Zahlen . Sind sie das nicht, so teilt man sie einfach durch ihren größten gemeinsamen Teiler.

Pythagoreische Tripel

Hauptartikel: Pythagoräisches Tripel

Ein pythagoräisches Tripel ist eine Menge von drei ganzen Zahlen, die den Satz des Pythagoras erfüllen. Es gibt drei Hauptmethoden, um pythagoreische Tripel zu finden:

Methode des Pythagoras

Wenn eine ungerade Zahl ist, dann ist ein pythagoreisches Tripel.

Methode von Platon

Wenn , ein pythagoreisches Tripel ist.

Babylonische Methode

Für jedes gilt: ist ein pythagoräisches Tripel.

Summe der vierten Potenzen

Eine Gleichung der Form hat keine ganzzahligen Lösungen, und zwar wie folgt:Wir nehmen an, dass die Gleichung ganzzahlige Lösungen hat, und betrachten die Lösung, die minimiert. Diese Lösung sei . Wenn , dann muss ihr GCD sättigen. Die Lösung wäre dann eine Lösung, die kleiner als ist, was unserer Annahme widerspricht. Diese Gleichung hat also keine ganzzahligen Lösungen.

Wenn , dann fahren wir mit der Fallarbeit in fort.

Beachte, dass jedes Quadrat, und damit jede vierte Potenz, entweder oder ist. Der Beweis dafür ist ziemlich einfach, und du kannst ihn selbst zeigen.

Fall 1:

Das würde implizieren, ein Widerspruch.

Fall 2:

Das würde bedeuten, ein Widerspruch, da wir angenommen haben.

Fall 3: , und

Wir wissen auch, dass Quadrate entweder oder sind. Also sind alle vierten Potenzen entweder oder .

Auf ähnliche Weise zeigen wir, dass:

, also .

Das ist ein Widerspruch, denn impliziert, dass ungerade ist, und impliziert, dass gerade ist. QED

Pell-Gleichungen

Hauptartikel: Pell-Gleichung

Eine Pell-Gleichung ist ein Typ der Diophantischen Gleichung der Form für die natürliche Zahl . Die Lösungen der Pell-Gleichung, wenn kein perfektes Quadrat ist, sind mit der Kettenbruchentwicklung von verbunden. Wenn die Periode des Kettenbruchs und die te Konvergenz ist, haben alle Lösungen der Pell-Gleichung die Form für die positive ganze Zahl .

Lösungsmethoden

Koordinatenebene

Beachte, dass jede Linearkombination in die lineare Gleichung umgewandelt werden kann, die nur die Steigungs-Absatz-Gleichung für eine Gerade ist. Die Lösungen der diophantischen Gleichung entsprechen den Gitterpunkten, die auf der Geraden liegen. Betrachten wir zum Beispiel die Gleichung oder . Eine Lösung ist (0,1). Wenn Sie die Linie grafisch darstellen, können Sie leicht erkennen, dass die Linie einen Gitterpunkt schneidet, wenn x und y um dasselbe Vielfache von bzw. zunehmen oder abnehmen (Formulierung?). Daher können die Lösungen der Gleichung parametrisch geschrieben werden (wenn wir uns als „Ausgangspunkt“ vorstellen).

Modulare Arithmetik

Manchmal kann die modulare Arithmetik verwendet werden, um zu beweisen, dass keine Lösungen für eine gegebene diophantische Gleichung existieren. Insbesondere, wenn wir zeigen, dass die betreffende Gleichung mod für eine ganze Zahl niemals wahr ist, haben wir gezeigt, dass die Gleichung falsch ist. Diese Technik kann jedoch nicht verwendet werden, um zu zeigen, dass Lösungen für eine diophantische Gleichung existieren.

Induktion

Gelegentlich, wenn einige wenige Lösungen gefunden wurden, kann Induktion verwendet werden, um eine Familie von Lösungen zu finden. Techniken wie infinite Descent können auch zeigen, dass keine Lösungen für eine bestimmte Gleichung existieren oder dass keine Lösungen außerhalb einer bestimmten Familie existieren.

Allgemeine Lösungen

Es ist natürlich zu fragen, ob es eine allgemeine Lösung für diophantische Gleichungen gibt, d.h. einen Algorithmus, der die Lösungen für jede beliebige diophantische Gleichung findet. Dies ist als Hilberts zehntes Problem bekannt. Die Antwort ist jedoch nein.

Fermats letzter Satz

Hauptartikel: Fermats letzter Satz

ist bekannt als Fermats letzter Satz für die Bedingung . In den 1600er Jahren schrieb Fermat, als er ein Buch über diophantische Gleichungen durcharbeitete, eine Randbemerkung: „Ich habe einen wahrhaft wunderbaren Beweis für diesen Satz, für den dieser Rand zu schmal ist.“ Fermat stellte tatsächlich viele Vermutungen an und schlug viele „Theoreme“ vor, aber er war nicht derjenige, der die Beweise oder etwas anderes als gekritzelte Kommentare niederschrieb. Nach seinem Tod wurden alle seine Vermutungen erneut bewiesen (entweder falsch oder richtig), mit Ausnahme von Fermats letztem Satz. Nachdem es über 350 Jahre lang nicht bewiesen werden konnte, wurde das Theorem schließlich von Andrew Wiles bewiesen, nachdem er über 7 Jahre an dem 200-seitigen Beweis gearbeitet und ein weiteres Jahr damit verbracht hatte, einen Fehler im ursprünglichen Beweis zu beheben.

Probleme

Einführung

• Zwei Bauern sind sich einig, dass Schweine Dollar und Ziegen Dollar wert sind. Wenn ein Bauer dem anderen Geld schuldet, bezahlt er die Schuld in Schweinen oder Ziegen, wobei er das „Wechselgeld“ je nach Bedarf in Form von Ziegen oder Schweinen erhält. (Zum Beispiel könnte eine Schuld von Dollar mit zwei Schweinen beglichen werden, wobei man eine Ziege als Wechselgeld erhält.) Wie hoch ist die kleinste positive Schuld, die auf diese Weise beglichen werden kann?

(Quelle)

Zwischenstufe

• Sei ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten, das und erfüllt. Gegeben, dass zwei verschiedene ganzzahlige Lösungen und hat, finde das Produkt . (Quelle)

Olympiade

• Bestimme den maximalen Wert von , wobei und ganze Zahlen sind, die und erfüllen. (Quelle)
• Löse in ganzen Zahlen die Gleichung .