Es gibt 3 grundlegende Operationen, die auf die Zeilen einer Matrix angewendet werden, wenn man die Matrix zur Lösung eines linearen Gleichungssystems verwendet. Das Ziel ist in der Regel, den linken Teil der Matrix so zu gestalten, dass er wie die Identitätsmatrix aussieht.
Die drei Operationen sind:
- Vertauschen von Zeilen
- Multiplizieren einer Zeile mit einer Zahl
- Addieren von Zeilen
Vertauschen von Zeilen
Man kann die Zeilen einer Matrix vertauschen, um eine neue Matrix zu erhalten.
→
In dem oben gezeigten Beispiel wird Zeile 1 in Zeile 2, Zeile 2 in Zeile 3 und Zeile 3 in Zeile 1 verschoben. (Der Grund dafür ist, dass wir eine 1 in der oberen linken Ecke erhalten.)
Multiplizieren einer Zeile mit einer Zahl
Sie können jede Zeile mit einer Zahl multiplizieren. (Das bedeutet, dass jeder Eintrag in der Zeile mit der gleichen Zahl multipliziert wird.)
→ R 3 : 1 3 R 3
In diesem Beispiel haben wir die Zeile 3 der Matrix mit 1 3 multipliziert. (Dadurch erhalten wir die 1, die wir in Zeile 3, Spalte 3 benötigen.)
Addieren von Zeilen
Sie können auch zwei Zeilen addieren und eine Zeile durch das Ergebnis ersetzen.
In der Matrix, die im letzten Beispiel entstanden ist, kann man zum Beispiel die Zeilen 2 und 3 addieren, Eintrag für Eintrag:
+ _
Dann ersetzen wir Zeile 2 durch das Ergebnis.
→ R 2 : R 2 + R 3
Addieren von Vielfachen von Zeilen
Wir sagten, es gäbe nur drei Operationen, und das stimmt. Aber wenn man die letzten beiden Operationen kombiniert, kann man ganze Vielfache von Zeilen zu anderen Zeilen hinzufügen, damit es schneller geht.
Gehen Sie einen Schritt zurück, damit wir die Matrix haben:
Anstatt nur Zeile 2 + Zeile 3 zu addieren, addieren wir nun Zeile 2 + ( 2 × Zeile 3 ) :
+ _
Dann ersetzen wir Zeile 2 durch das Ergebnis.
→ R 2 : R 2 + 2 R 3
Auf diese Weise erhalten wir eine 0 in Zeile 2 , Spalte 3 .
Wir können dies wiederholen, um eine 0 in Zeile 2 , Spalte 1 zu erhalten. Hier multiplizieren wir Zeile 1 mit – 2 , addieren es zu Zeile 2 und ersetzen Zeile 2 durch das Ergebnis.
→ R 2 : – 2 R 1 + R 2
Wir zeigen noch ein paar Schritte, um die 3 × 3 Identitätsmatrix auf der linken Seite zu erhalten (und damit das System zu lösen).
Der nächste Schritt ist die Addition von Zeile 2 + ( 4 × Zeile 3 ), um eine 0 in Zeile 2 , Spalte 3 zu erhalten.
→ R 2 : R 2 + 4 R 3
Als nächstes brauchen wir eine Null in Zeile 1 , Spalte 3 .
→ R 1 : R 1 – 2 R 3
Der letzte Schritt ist nur eine Anwendung der zweiten Operation, der Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl.
→ 1 3 R 3
Wir haben nun die Lösung als geordnetes Tripel ( 1 , 0 , – 2 ) .
Wichtiger Hinweis: Wenn die Gleichungen, die durch deine ursprüngliche Matrix dargestellt werden, identische oder parallele Linien darstellen, kannst du mit diesen Zeilenoperationen nicht die Identitätsmatrix erhalten. In diesem Fall existiert die Lösung entweder nicht oder es gibt unendlich viele Lösungen für das System.