Leibniz

7.8.1 Die Elastizität der Nachfrage

Die Preiselastizität der Nachfrage misst die Empfindlichkeit der nachgefragten Menge gegenüber dem Preis: Sie gibt an, um wie viel Prozent sich die nachgefragte Menge ändert, wenn sich der Preis um 1% ändert. In diesem Leibniz-Artikel definieren wir die Elastizität mit Hilfe der Infinitesimalrechnung und zeigen, wie die Preisentscheidungen eines Unternehmens von der Elastizität der Nachfrage abhängen, mit der es konfrontiert ist.

Es gibt zwei Möglichkeiten, eine Nachfragefunktion zu schreiben. Bisher haben wir die Nachfrage nach Beautiful Cars mit Hilfe der inversen Nachfragefunktion beschrieben:

wobei der Preis ist, zu dem das Unternehmen genau Autos verkaufen kann. Um die Elastizität zu bestimmen, ist es bequemer, die Nachfragefunktion in ihrer direkten Form zu schreiben:

ist die nachgefragte Menge von Beautiful Cars, wenn der Preis gleich ist. (Die Funktion ist die Umkehrfunktion von ; mathematisch können wir schreiben .)

Die Ableitung der Nachfragefunktion ist . Dies ist eine Möglichkeit zu messen, wie stark sich die Verbrauchernachfrage als Reaktion auf eine Preisänderung ändert. Aber es ist kein sehr nützliches Maß, da es von den Einheiten abhängt, in denen und gemessen werden. Wir würden zum Beispiel eine andere Antwort erhalten, wenn der Preis in Euro und nicht in Dollar angegeben wäre.

Stattdessen haben wir die Preiselastizität der Nachfrage im Text wie folgt definiert:

Dies ist ein nützlicheres Maß für die Reaktion der Nachfrage auf den Preis. Aus der Definition ist ersichtlich, dass sie unabhängig von den Maßeinheiten ist. Um dies zu sehen, nehmen wir an, dass sich der Preis von bis ändert, wodurch sich die nachgefragte Menge von bis ändert. Die prozentuale Änderung des Preises ist, und die prozentuale Änderung der Menge ist. Setzt man diese Werte in den Ausdruck für die Elastizität ein, so erhält man:

Wenn man den Grenzwert dieses Ausdrucks als annimmt, so erhält man die rechnerische Definition der Preiselastizität der Nachfrage, die wir im Text mit als bezeichnen:

Und da die Elastizität auch als geschrieben werden kann:

Beachte, dass der Wert der Elastizität normalerweise positiv ist, da nach dem Gesetz der Nachfrage die Ableitung der Nachfragefunktion negativ ist.

So definiert, entspricht sie rechnerisch nur annähernd unserer ursprünglichen Definition der Elastizität als prozentualer Rückgang der nachgefragten Menge bei einem Preisanstieg von 1 %. Aber unter der vernünftigen Annahme, dass 1% ein kleiner Betrag ist, ist es eine gute Annäherung, und wir interpretieren es oft auf diese Weise.

Betrachten Sie die Nachfragefunktion:

Hier,

in diesem speziellen Fall ist die Elastizität der Nachfrage konstant – sie ist an allen Punkten der Nachfragekurve gleich.

Im Allgemeinen sind Elastizitäten nicht konstant. Sie variieren, wenn wir uns entlang der Nachfragekurve bewegen. Das obige Beispiel veranschaulicht jedoch einen Sonderfall. Wenn die Form der Nachfragefunktion ist, wobei und positive Konstanten sind, ist die Elastizität der Nachfrage . Dies ist die einzige Klasse von Nachfragefunktionen, für die die Elastizität konstant ist.

Die Elastizität als Menge ausdrücken

Einen anderen Ausdruck für die Elastizität der Nachfrage erhält man, indem man zur Umkehrfunktion zurückkehrt. Nach der Regel der inversen Funktion,

so

Ein zweites Beispiel: Nehmen wir an, Beautiful Cars hat die inverse Nachfragefunktion

wie in Abbildung 7.15 des Textes. Mit dem obigen Ausdruck ist die Elastizität der Nachfrage:

Alternativ können wir die Elastizität in Bezug auf den Preis ausdrücken:

Jeder der beiden Ausdrücke für zeigt, dass die Elastizität mit der Bewegung nach rechts entlang der Nachfragekurve sinkt, d. h. sie steigt und sinkt. Dies gilt für jede lineare Nachfragefunktion, wie auch für das Ergebnis, das sich mit zunehmender Annäherung an und mit zunehmender Annäherung an seinen Maximalwert nähert, wobei . Wenn Beautiful Cars also nur zwei Autos pro Tag zu einem Preis von 7.840 $ verkauft, beträgt die Elastizität der Nachfrage 49; wenn das Unternehmen dagegen 95 Autos pro Tag verkauft, indem es nur 400 $ pro Auto verlangt, werden drei Dezimalstellen erreicht.

Elastizität und Grenzerlös

Wir haben in Leibniz 7.6.1 gesehen, dass, wenn die inverse Nachfragefunktion von Beautiful Cars gleich ist, ihre Erlösfunktion gleich

ist und dass der Grenzerlös (MR) wie folgt definiert ist:

Wenn man diesen Ausdruck mit Hilfe der Formel umschreibt und die Tatsache verwendet, dass , sehen wir, dass es eine Beziehung zwischen dem Grenzerlös und der Elastizität der Nachfrage gibt:

Das bedeutet, dass der Grenzerlös positiv ist, wenn , negativ, wenn .

Wie im Text bemerkt wurde, wird die Nachfrage als elastisch bezeichnet, wenn , unelastisch wenn . Das zweite Beispiel zeigt, dass die Nachfrage an verschiedenen Punkten der gleichen Nachfragekurve elastisch und unelastisch sein kann. Wir haben soeben gezeigt, dass der Grenzerlös dann und nur dann positiv ist, wenn das Unternehmen auf dem Teil der Nachfragekurve operiert, auf dem die Nachfrage elastisch ist. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn das Unternehmen seinen Gewinn maximiert und daher seinen Output so wählt, dass Grenzerlös und Grenzkosten gleich sind, da die Grenzkosten positiv sind.

Der Preisaufschlag

Erinnern wir uns an Leibniz 7.6.1, dass die Bedingung erster Ordnung für die Gewinnmaximierung ist, wobei die Grenzkosten sind. Mit Hilfe der Formel für den Grenzerlös, die wir soeben hergeleitet haben, können wir die Bedingung erster Ordnung wie folgt formulieren:

Umformulierung:

Die linke Seite dieser Gleichung ist der Gewinnaufschlag des Unternehmens, d.h. die Gewinnspanne im Verhältnis zum Preis. Die Gleichung besagt, dass die Gewinnspanne (am Punkt der Gewinnmaximierung) umso größer ist, je geringer die Elastizität der Nachfrage ist. Liegt die Nachfrageelastizität beispielsweise im Optimum, so ergibt sich ein Gewinnaufschlag von , während eine Nachfrageelastizität von bedeutet, dass der Gewinnaufschlag gleich ist, so dass das Unternehmen seinen Preis auf das Fünffache der Grenzkosten festsetzen wird. Die umgekehrte Beziehung zwischen dem Gewinnaufschlag und der Preiselastizität der Nachfrage wird durch die Abbildungen 7.16 und 7.17 des Textes veranschaulicht, die im Folgenden als Abbildung 1 wiedergegeben werden.

Elastizität im Allgemeinen

Die Elastizität ist ein allgemeines mathematisches Konzept, das allerdings, soweit wir wissen, nur von Wirtschaftswissenschaftlern verwendet wird. Angenommen, wir haben eine differenzierbare Funktion, wobei und nur positive Werte annehmen. Die Elastizität von in Bezug auf kann wie folgt definiert werden:

Dies ist der Grenzwert des Verhältnisses

, wenn der Nenner gegen Null geht. Eine Alternative, die wir im Fall der Preiselastizität der Nachfrage verwendet haben, besteht darin, die Elastizität als den absoluten Wert dieser Grenze zu definieren.

Weiterlesen: Abschnitte 6.4 und 7.4 von Malcolm Pemberton und Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.