Gegeben sei eine Fläche A beliebiger Form und die Unterteilung dieser Fläche in n sehr kleine Elementarflächen (dAi). xi und yi seien die Abstände (Koordinaten) zu jeder Elementarfläche, gemessen von einer gegebenen x-y-Achse. Das erste Moment der Fläche in x- und y-Richtung ist dann gegeben durch:
S x = A y ¯ = ∑ i = 1 n y i d A i = ∫ A y d A {\displaystyle S_{x}=A{\bar {y}}=\sum _{i=1}^{n}{y_{i}\,dA_{i}}=\int _{A}ydA}
und
S y = A x ¯ = ∑ i = 1 n x i d A i = ∫ A x d A {\displaystyle S_{y}=A{\bar {x}}=\summe _{i=1}^{n}{x_{i}\,dA_{i}}=\int _{A}xdA}
.
Die SI-Einheit für das erste Moment der Fläche ist ein Kubikmeter (m3). Im amerikanischen Ingenieur- und Gravitationssystem ist die Einheit ein Kubikfuß (ft3) oder häufiger Zoll3.
Das statische oder statische Flächenmoment, gewöhnlich mit dem Symbol Q bezeichnet, ist eine Eigenschaft einer Form, die zur Vorhersage ihrer Widerstandsfähigkeit gegenüber Scherspannungen verwendet wird. Per Definition:
Q j , x = ∫ y i d A , {\displaystyle Q_{j,x}=\int y_{i}dA,}
wobei
- Qj,x – das erste Moment der Fläche „j“ um die neutrale x-Achse des gesamten Körpers (nicht die neutrale Achse der Fläche „j“);
- dA – eine Elementarfläche der Fläche „j“;
- y – der senkrechte Abstand zum Flächenschwerpunkt des Elements dA von der neutralen Achse x.
Scherspannung in einer halbschaligen StrukturBearbeiten
Die Gleichung für den Scherfluss in einem bestimmten Stegabschnitt des Querschnitts einer halbschaligen Struktur lautet:
q = V y S x I x {\displaystyle q= {V_{y}S_{x}}{I_{x}}}}
- q – der Scherfluss durch einen bestimmten Stegabschnitt des Querschnitts
- Vy – die Scherkraft senkrecht zur neutralen Achse x durch den gesamten Querschnitt
- Sx – das erste Flächenmoment um die neutrale Achse x für einen bestimmten Stegabschnitt des Querschnitts
- Ix – das zweite Flächenmoment um die neutrale Achse x für den gesamten Querschnitt
Die Schubspannung kann nun mit folgender Gleichung berechnet werden:
τ = q t {\displaystyle \tau ={\frac {q}{t}}}
