Der Korrelationskoeffizient zwischen zwei Werten in einer Zeitreihe wird Autokorrelationsfunktion (ACF) genannt. Zum Beispiel ist die ACF für eine Zeitreihe \(y_t\) gegeben durch:
\(\begin{equation*} \mbox{Corr}(y_{t},y_{t-k}). \end{equation*}\)
Dieser Wert von k ist der betrachtete Zeitabstand und wird als Lag bezeichnet. Eine Lag-1-Autokorrelation (d. h. k = 1 in der obigen Darstellung) ist die Korrelation zwischen Werten, die eine Zeitperiode auseinander liegen. Allgemeiner ausgedrückt, ist eine Autokorrelation mit Verzögerung k die Korrelation zwischen Werten, die k Zeiträume auseinander liegen.
Der ACF ist eine Möglichkeit, die lineare Beziehung zwischen einer Beobachtung zum Zeitpunkt t und den Beobachtungen zu früheren Zeitpunkten zu messen. Wenn wir von einem AR(k)-Modell ausgehen, möchten wir vielleicht nur den Zusammenhang zwischen \(y_{t}\) und \(y_{t-k}\) messen und den linearen Einfluss der dazwischen liegenden Zufallsvariablen herausfiltern (d. h. \(y_{t-1},y_{t-2},\ldots,y_{t-(k-1 )}\)), was eine Transformation der Zeitreihen erfordert. Durch die Berechnung der Korrelation der transformierten Zeitreihen erhält man dann die partielle Autokorrelationsfunktion (PACF).
Die PACF ist sehr nützlich, um die Ordnung eines autoregressiven Modells zu identifizieren. Insbesondere weisen partielle Autokorrelationen der Stichprobe, die sich signifikant von 0 unterscheiden, auf verzögerte Terme von \(y\) hin, die nützliche Prädiktoren von \(y_{t}\) sind. Um die Unterscheidung zwischen ACF und PACF zu erleichtern, kann man sie als Analogie zu den zuvor besprochenen \(R^{2}\)- und partiellen \(R^{2}\)-Werten betrachten.
Zu den grafischen Ansätzen zur Bewertung der Verzögerung eines autoregressiven Modells gehört die Betrachtung der ACF- und PACF-Werte im Vergleich zur Verzögerung. Wenn Sie in einer Darstellung von ACF gegen die Verzögerung große ACF-Werte und ein nicht zufälliges Muster sehen, dann sind die Werte wahrscheinlich seriell korreliert. Bei einer Darstellung von PACF gegen die Verzögerung erscheint das Muster in der Regel zufällig, aber große PACF-Werte bei einer bestimmten Verzögerung deuten darauf hin, dass dieser Wert für die Ordnung eines autoregressiven Modells in Frage kommt. Es ist wichtig, dass die Wahl der Ordnung sinnvoll ist. Nehmen wir zum Beispiel an, Sie haben Blutdruckmesswerte für jeden Tag in den letzten zwei Jahren. Sie könnten feststellen, dass ein AR(1)- oder AR(2)-Modell für die Modellierung des Blutdrucks geeignet ist. Der PACF kann jedoch einen großen partiellen Autokorrelationswert bei einer Verzögerung von 17 anzeigen, aber eine so große Ordnung für ein autoregressives Modell ist wahrscheinlich nicht sehr sinnvoll.