Die Teilsummen von 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ sind 1, 3, 7, 15, …; da diese ins Unendliche divergieren, so auch die Reihe.
2 0 + 2 1 + ⋯ + 2 k = 2 k + 1 – 1 {\displaystyle 2^{0}+2^{1}+\cdots +2^{k}=2^{k+1}-1}
Daher ergibt jede ganz reguläre Summationsmethode eine Unendlichkeitssumme, auch die Cesàro-Summe und die Abel-Summe. Andererseits gibt es mindestens eine allgemein nützliche Methode, die 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ zum endlichen Wert von -1 summiert. Die zugehörige Potenzreihe
f ( x ) = 1 + 2 x + 4 x 2 + 8 x 3 + ⋯ + 2 n x n + ⋯ = 1 1 – 2 x {\displaystyle f(x)=1+2x+4x^{2}+8x^{3}+\cdots +2^{n}{}x^{n}+\cdots ={\frac {1}{1-2x}}}
hat einen Konvergenzradius um 0 von nur 1/2, konvergiert also nicht bei x = 1. Nichtsdestotrotz hat die so definierte Funktion f eine eindeutige analytische Fortsetzung in der komplexen Ebene, wobei der Punkt x = 1/2 gestrichen wird, und sie ist durch die gleiche Regel f(x) = 1/1 – 2x gegeben. Da f(1) = -1 ist, sagt man, dass die ursprüngliche Reihe 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ zu -1 summierbar (E) ist, und -1 ist die (E)-Summe der Reihe. (Die Schreibweise stammt von G. H. Hardy in Anlehnung an Leonhard Eulers Ansatz für divergente Reihen).
Ein fast identischer Ansatz (der von Euler selbst gewählt wurde) besteht darin, die Potenzreihen zu betrachten, deren Koeffizienten alle 1 sind, d. h.e.
1 + y + y 2 + y 3 + ⋯ = 1 1 – y {\displaystyle 1+y+y^{2}+y^{3}+\cdots ={\frac {1}{1-y}}}
und das Einsetzen von y = 2. Diese beiden Reihen sind durch die Substitution y = 2x verbunden.
Die Tatsache, dass die (E)-Summation 1 + 2 + 4 + 8 + … einen endlichen Wert zuweist, zeigt, dass die allgemeine Methode nicht völlig regulär ist. Andererseits besitzt sie einige andere wünschenswerte Eigenschaften für eine Summationsmethode, einschließlich Stabilität und Linearität. Die beiden letztgenannten Axiome zwingen die Summe tatsächlich dazu, -1 zu sein, da sie die folgende Manipulation gültig machen:
s = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ⋯ = 1 + 2 ( 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ ) = 1 + 2 s {\displaystyle {\begin{array}{rcl}s&=&\displaystyle 1+2+4+8+16+\cdots \\\&=&\displaystyle 1+2(1+2+4+8+\cdots )\\\&=&\displaystyle 1+2s\end{array}}
In einem nützlichen Sinn ist s = ∞ eine Wurzel der Gleichung s = 1 + 2s. (Zum Beispiel ist ∞ einer der beiden Fixpunkte der Möbius-Transformation z → 1 + 2z auf der Riemannschen Kugel). Wenn eine Summationsmethode bekannt ist, die eine gewöhnliche Zahl für s liefert, d. h. nicht ∞, dann lässt sich diese leicht bestimmen. In diesem Fall kann s von beiden Seiten der Gleichung subtrahiert werden, was 0 = 1 + s ergibt, also s = -1.
Die obige Manipulation könnte außerhalb des Kontextes eines hinreichend mächtigen Summationsverfahrens zur Erzeugung von -1 herangezogen werden. Bei den bekanntesten und einfachsten Summenkonzepten, einschließlich des grundlegenden konvergenten, ist es absurd, dass eine Reihe positiver Terme einen negativen Wert haben kann. Ein ähnliches Phänomen tritt bei der divergenten geometrischen Reihe 1 – 1 + 1 – 1 + ⋯ auf, bei der eine Reihe ganzer Zahlen die nicht-ganzzahlige Summe 1/2 zu haben scheint. Diese Beispiele veranschaulichen die potenzielle Gefahr bei der Anwendung ähnlicher Argumente auf Reihen, die durch wiederkehrende Dezimalzahlen wie 0,111… und vor allem 0,999…. impliziert werden. Die Argumente sind letztlich für diese konvergenten Reihen gerechtfertigt, da sie implizieren, dass 0,111… = 1/9 und 0,999… = 1 ist, aber die zugrunde liegenden Beweise erfordern ein sorgfältiges Nachdenken über die Interpretation von Endlossummen.
Es ist auch möglich, diese Reihen als konvergent in einem anderen Zahlensystem als den reellen Zahlen zu betrachten, nämlich den 2-adischen Zahlen. Als Reihe von 2-adischen Zahlen konvergiert diese Reihe zur gleichen Summe, -1, wie sie oben durch analytische Fortsetzung abgeleitet wurde.